21.06.2014

Nicht so zufällig!

Johannisnachtfeier am Strand in der Nähe von Barcelona, Spanien








Heute ist Sonnenwendetag und man hört schon einige Böller knallen, obwohl es noch Vormittag ist. 
Heute wird fröhlich gefeiert und wir werden bestimmt wenig Zeit zum schlafen haben, aber dafür Zeit genug um auch eine mathematische Denkaufgabe zu lösen:

Zwei Frauen treffen sich auf der Straße und nutzen die Gelegenheit, um sich zu unterhalten und über dies und das zu sprechen. Nach einer Weile sagt die eine:

- Ich habe eine Frage für Sie - Sie sind ja Professorin für Mathematik. Heute ist nicht nur Sonnenwendetag, sondern außerdem ein ganz besonderer Tag für mich. Drei meiner vier Söhne haben heute Geburtstag. Können Sie herausbekommen, wie alt sie sind, wenn ich Ihnen verrate, dass wenn ich die Alterszahlen meiner drei kleineren miteinander multipliziere, 36 erhalte.

- Sicher. Sie müssen mir aber noch etwas mehr über Ihre Söhne sagen.

- Stimmt. Zähle ich die Alterszahlen meiner vier Söhne zusammen, dann komme ich auf die heutige Monatstagzahl, also 21.

Die Mathematikerin denkt eine Weile nach und sagt:

- Ich brauche noch einen Hinweis.
- OK. Es ist nicht so zufällig.

Wünsche Ihnen nun einen schönen Feierabend ;-)

(Und für den Fall eines Falles, können Sie HIER eine Lösung finden)

12.08.2013

Spaß am Strand mit schöne geometrische Knobeleien

Man kann auch am Strand sehr gut Vergnügen an die Geometrie finden. Das zeigt uns Calvin Seibert mit seine geometrische Sandschlösser, die er über das ganze Jahr baut.
http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/
Er kombiniert oft viele verschiedene geometrische Körper, aber auch nur mit Quadern schafft er eindrucksvolle Bauten
http://www.flickr.com/photos/45648531@N00/sets/72157594166672630/
Beim Betrachten oder Bauen dieser geometrischen Körper treten auch viele Fragen auf, wie z.B. diese:

KNOBELAUFGABE 1
Wir wollen zuerst mal Sandkonstruktionen aus 6 gleich große Quader bauen, und überlegen uns vorher wie man sie anordnen könnte, damit sie folgende Bedingungen erfüllen, wobei folgendes zu beachten ist:
Ein Quader fügt sich mit einem anderen Quader zu einem größeren oder abgestuften Quader zusammen, wenn eine der Flächen oder ein Teil einer Fläche eines Quaders mit einer Fläche oder einem Teil einer Fläche eines anderen Quaders in Berührung kommen. Wenn sich zwei Quader an einer Ecke oder einer Kante berühren, dann wird diese Kombination nicht als einen neuen zusammengefügten Körper betrachtet.
Fall A: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit zwei andere und nur zwei andere zusammenfügt (Es sind mehrere Lösungen möglich.)
Fall B: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit drei andere und nur drei andere zusammenfügt.
Fall C: Wie kann man 6 Quader anordnen, damit jeder Quader sich mit vier andere und nur vier andere zusammenfügt.
KNOBELAUFGABE 2
Im nachfolgenden Bild ist ein großer Sandquader zu sehen, der aus mehrere zusammengefügte Bausteine gebaut worden ist. Das schraffierte Eckbaustein wurde als Erstes aus 4 kleinere gleich große Würfel (Quader) zusammengebaut. Für diesen Eckbaustein gibt es 2 Würfelkombinationsmöglichkeiten. Welche?


KNOBELAUFGABE 3
Bei den Platonischen Körpern erfüllt sich eine mathematische Beziehung zwischen der Anzahl der Ecken e, der Anzahl der Flächen f und der Anzahl der Kanten k.
Platonische Körper

Diese Beziehung lässt sich durch Probieren oder Überlegung auch für andere geometrische Körper finden, wie z.B. Quader, Prismen, Pyramiden .... 

Wie lautet sie? Gilt sie auch für ein Treppengebilde des ersten Sandschlosses? (s. erste und untere Abb.)


KNOBELAUFGABE 4
Wir haben zwei Sandkasteneimer. In den einen passen 3 Liter und in den anderen 4 Liter. 

Und wir haben soviel Sand wie wir wollen. Nur, wie bekommt man genau 1 Liter Sand, um einen Sandwürfel mit einer Kantenlänge von 10 cm bauen zu können? Mit anderen Worten, wie kann man wissen, dass genau ein Liter Sand in dem einen Eimer drin sind?

04.08.2013

Alltagsphysik im Schwimmbecken


Hier eine Alltagsphysikfrage für die heißen Augusttagen, bei denen man gerne schwimmt oder längere Zeit in der Nähe von Wasser verbringt:

Einige Kinder spielen im kleinen fast kreisförmigen Schwimmbecken mit annähernd 5 Meter Durchmesser. Sie werfen ein Schlauchboot in den Pool, beladen das Boot mit 40 schwere Steine, setzen sich im Boot und nach etwas paddeln und viel lachen werfen sie die Steine im Wasser. Einer von den Kindern ist am Schwimmbeckenrand geblieben und beobachtet erstaunt das Wasser.

Was hätte ihn so in Erstaunen bringen können? Die Wasserstandsänderungen?
Wie ändert sich der Wasserstand während des Spielprozesses?

Wenn Sie nach ihren Überlegungen zum Archimedisches Prinzip und Auftriebeffekt auch noch experimentell nachprüfen möchten, wie sich der Wasserspiegel während des Spielprozesses verhält, ohne irgendwelche Steine in einem Pool zu werfen, dann können Sie es einfach mit einem vollen Glas Wasser oder sogar Messbecher (stell den Schwimmbecken dar), einem Kunststoffdeckel, der tief genug ist, um nicht im beladenen Zustand mit Wasser vollzulaufen (stell das Boot dar), und ein paar Münzen (stellen die schwere Steine dar) versuchen.

Überrascht? Ja, jeder Bauch irrt sich mal!

Hier können Sie einige Rechnungen finden, die das Versuchsergebnis erläutern.

Vermerk: diese Alltagsphysik-Frage ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben (s. zum Beispiel die 5. Frage auf folgender Bewerbungs-Warmup-Seite)

29.07.2013

Physikalische Gedankensplitter beim Zuschauen der Schwimm-WM 2013 in Barcelona


Die 15. Schwimmweltmeisterschaften finden jetzt in Barcelona statt: ein gute Gelegenheit um einige einfache und kurze Überlegungen über die Physik beim Schwimmen anzustellen.

Schwimmen ist eine wunderschöne sportliche Aktivität, in der die Wechselwirkung des Sportlers mit dem Medium (Wasser) eine große Rolle spielt. Die physikalische Charakterisierung dieser Wechselwirkung lässt sich auf die Untersuchung folgender Aspekte reduzieren:
- der Auftrieb, der das Schwimmen ermöglicht und senkrecht zur Schwimmrichtung wirkt
- der Antrieb, der die Fortbewegung im Wasser bewirkt und den man durch geeignete Arm- und Beinbewegungen erreicht
- der Widerstand, der gegen die Schwimmrichtung des Körpers wirkt und folglich abbremst

DER AUFTRIEB
Jeder Mensch schafft es, dank dem statischen Auftrieb, an der Wasseroberfläche zu treiben. Sein Körper schwimmt, wenn die Gewichtskraft FG auf dem Körper genauso groß ist wie die Auftriebskraft FA, wobei sich ein Teil seines Körpers außerhalb des Wassers befindet. (Ein Körper schwebt, wenn FG=FA und der ganze Körper unter der Wasseroberfläche bleibt, und würde sinken, wenn FG>FA) Nach dem Archimedes Gesetz ist die Auftriebskraft FA gleich der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Wassermenge:
FA = D· V· g
[Dichte des Wassers mal Volumen der verdrängten Wassermenge (= Volumen des eingetauchten Körperteils) mal Erdanziehungskonstante]
Die Gewichtskraft, die nach unten wirkt, ist nach dem Kraftgesetz von Newton:
FG = m·g = D· V· g
[Dichte des Körpers mal Volumen des ganzen Körpers mal Erdanziehungskonstante]

22.07.2013

Mathematische Denkfrage bei 100% Frischluft







Es wird Nacht und drei junge Reisende entschließen im ersten Motel, der noch frei Zimmer hat, zu übernachten. Sie haben Glück: alle freie Zimmer sind mit Klimaanlage ausgestattet! 

Der Preis für ein Dreibettzimmer pro Nacht beträgt 90 €. Jeder bezahlt 30 € im voraus, weil sie am nächsten Tag ganz früh am Morgen losziehen wollen.
Nach einer Weile bemerkt der Motelbesitzer, dass der Preis an diesem Wochentag nur 85 € beträgt. Er schickt daher seinen Gehilfen mit den überschüssigen 5 € zurück zu den drei Reisenden. Dem Gehilfen fällt auf, dass sich 5 Euro schlecht auf drei Personen aufteilen lassen. Er beschließt folglich den jungen Reisenden nur 3 Euro zurückzugeben und die zwei übrigen Euro zu behalten. Nun haben die drei Reisenden jeweils 30 - 1= 29 € bezahlt, was insgesamt 87 Euro ergibt. Der Gehilfe hat 2 Euro behalten, das macht 89 Euro.
Aber ursprünglich lagen 90 Euro auf der Theke!
Wo ist der eine Euro geblieben?


Vermerk: diese Anekdote ist auch ein Beispiel für beliebte Testfragen von Personalverantwortlichen, mit denen sie den Scharfsinn und Einfallsreichtum der Bewerber erproben wollen.
Lösung

09.07.2013

So weit das Auge reicht

Die Sommerschulferien haben schon vor zwei Wochen begonnen und die Möglichkeiten, den Kontakt mit der Natur zu genießen und sich dabei Überlegungen über Alltagsrätsel anszustellen, haben sich vervielfältigt...

Beim spazieren gehen durch den Landwirtschaftspark von Collserola (Sant Cugat del Valles, Barcelona) habe ich heute früh einige Fotos geknipst ........

Kornfeld beim Eingang zum Collserola Park

und mir dann die Frage gestellt, wie weit es wohl bis zum Horizont ist, wenn man auf einem ebenen Feldgelände steht oder am Meer ist und es weder atmosphärische Störungen noch massive Hindernisse (Bäume, Häuser, usw.) gibt, die die Sicht behindern, und wie sich diese unbehinderte Sichtweite ändern würde, wenn man das Horizont von einer höheren Beobachtungsstelle aus betrachten würde.

Sehr schöne unbehinderte Sichten hat man ja auch am Meer bzw. bei einer Schifffahrt, wenn die atmosphärische Bedingungen günstig sind....

Cap Roig an der Costa Brava


Eine Näherungsantwort zu meiner Fragestellung lässt sich mal wieder mit dem Satz des Pythagoras herleiten!
Hier eine kleine farbvolle Skizze um es zu veranschaulichen:

Die Erde ist nicht vollkommen rund, dennoch kann man sie für die annähernde Berechnung der Sichtweite als eine Kugel mit einem mittleren Radius von rund 6370 km identifizieren.

Die Sichtweite des Beobachters auf der Beobachtungsplattform (bzw. Abstand bis zum Horizont): x
Erdradius: r
Winkel zwischen x und r:  90º
Abstand des Beobachters vom Erdmittelpunkt: r + s    wobei s die Beobachtersichthöhe ist

Nach dem Satz des Pythagoras gilt:        x2 + r2 = (r + s)2

und umgestellt nach x2 erhält man:           x2 = 2rs + r2 = 2rs + s2 = (2r + s) s

Da der Erdradius r sehr viel größer ist als die Beobachtersichthöhe s, kann man das s in der Klammer vernachlässigen und erhält:                      x2 ≈ 2rs = 12.740 * s

Damit gilt für die Sichtweite (geometrische Entfernung) bis zum Horizont folgende einfache Formel:


                                                             ≈ 113 * √¯s    [in km]

Im ebenen Gelände ist daher der Horizont bei 1,70 m = 0,0017 km Beobachtersichthöhe knapp 4,6 km entfernt. Ist man auf einer 30 m hohen Beobachtungsplattform (s = 0,03 km), dann hat man schon eine Sichtweite bis zum Horizont von fast 20 km!

In dieser annähernden Berechnung der geometrischen Entfernung bis zum Horizont sind allerdings keine Lichtbrechungseffekte in der Atmosphäre berücksichtigt worden, die je nach Wetterlage mehr oder minder stark sein können und die optische Sichtweite im Vergleich zur geometrischen Entfernung erheblich ändern können und in der Seefahrerwelt oft mit einem mittleren Faktor von ungefähr 1,1 berücksichtigt werden.

Bei Seefahrten bzw. am Meer kann man auch beobachten, dass man manchmal nur die Aufbauten anderer Schiffe sehen kann, die selbst aber hinter dem Horizont bleiben, oder nur die Bergspitzen einer entfernten Insel wie in der folgenden Skizze:

Wie weit kann man in diesem Fall sehen, wenn man im ebenen Gelände (ohne atmosphärische Störungen und ohne irgendwelche Lichtbrechungseffekte) von einem s Meter hohen Beobachtungspunkt einen b Meter hohen Berg sieht? Gibt es dafür auch eine einfache Formel? 

Blick vom Fabra-Observatorium (413 m, bei Collserola, Barcelona) auf die Bergumrisse der Insel Mallorca
Foto von Alfons Puertas Castro, 7. Dez. 2010 um 14 Uhr 


23.06.2013

Johannisnacht und Wissenschaft bei Feuer

Heute Abend beginnt die Feierlichkeit der Sommer-Sonnenwende: die Johannisnacht, die Nacht der Lagerfeuer, Fackeln, Knaller, Böller und Feuerwerke... ¡Aber Vorsicht mit dem Feuer!
Johannisnacht in Barcelona
Erfahren Sie, wie vier Festgäste ein Problem mit dem Feuer zu lösen versuchten .......

Ein Pfarrer, eine Physikerin, ein Maschinenbauingenieur und ein Mathematiker befinden sich im letzten Stockwerk eines in Flammen aufgehenden Gebäudes.
Der einzige Ausweg um vor der Hitze nicht umzukommen, ist aus dem Fenster in das Schwimmbecken auf der Dachterrasse des nächsten und etwas niedrigeren Gebäudes zu springen.... ¡Der Sprung ist allerdings nicht leicht!

Der Pfarrer setzt sich auf dem Fenstersims, betet und springt ab.... Er landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Die Physikerin schätzt die Windgeschwindigkeit, den waagrechten Abstand zwischen Fenster und Schwimmbeckenmitte, den Höhenunterschied zwischen Fenster und Schwimmbecken, berechnet die Flugbahn, indem sie alle Rechenschritte mit einem Bleistift auf der Wand notiert, und bestimmt somit die notwendige Anfangsgeschwindigkeit und den idealen Absprungwinkel, um in der Mitte des Schwimmbeckens zu landen. Rennt dann vor, um den notwendigen Impuls zu gewinnen, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Der Maschinenbauingenieur reißt ein Brett aus dem Fußboden, schätzt die Elastizität des Holzbretts, befestigt das Brett am Fenster und benützt die Daten der Physikerin um seine eigene Berechnungen zu machen - sind allerdings etwas länger als die der Physikerin und braucht dafür eine ganze Wand. Er steigt zuletzt auf das Brett, springt ab und landet im Schwimmbecken, knapp einige Zentimeter von der Schwimmbeckenkante entfernt.

Der Mathematiker verfügt nun über die Daten der Physikerin und des Maschinenbauingenieurs und durchführt seine eigene Berechnungen... notiert auf einer Wand,.... zwei Wände, ..... drei Wände ....., steigt dann auch auf das Brett, das am Fenster befestigt wurde, springt ab ................ aber wo ist er gelandet? Man kann ihn nicht sehen! ...... Was ist geschehen?

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Ein Vorzeichenfehler!


Gelesen im Blog von ZTFNews.org und hier frei übersetzt.